martes, 13 de marzo de 2012

Los polinomios


Los Polinomios:

*Polinomios de una variable

Para a0, …, an constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como \mathbb{R} o \mathbb{C}, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y n \in \mathbb{N}, entonces un polinomioP_{}^{}, de grado n en la variable x es un objeto de la forma
P(x)_{}^{} = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}.
El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como
P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado.


*Polinomios de varias variable

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
5xy, 3xz^2, 4xy^2z, \dots
En detalle el último de ellos 4xy_{}^2z es un momonio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

Operaciones con Polinomios:
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.
Ejemplo
Sean los polinomios: P(x) = (2x_{}^3+4x+1) y Q(x)_{}^{} = (5x^2+3) , entonces el producto es:
P(x)Q(x)_{}^{} = (2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) = (2x_{}^3+4x+1)(5x^2) + (2x^3+4x+1)(3)= (10x_{}^5 + 20x^3 + 5x^2) + (6x^3+12x+3)= 10x_{}^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3
Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:
P(X)Q(X)_{}^{} =  \left( \sum_{i=0}^m a_i X^i \right)
\left(\sum_{j=0}^n b_j X^j \right) = 
\sum_{k=0}^{m+n} \left(\sum_{p=0}^k a_p b_{k-p} \right) X^k
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
P(x)Q(x)_{}^{} = (2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) = (1\cdot 3)x_{}^0 + (4 \cdot 3)x^1 + (1 \cdot 5)x^2 + (4\cdot 5+ 2\cdot 3)x^3 + (0)x^4 + (5\cdot 2)x^5 = 10x_{}^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios \scriptstyle P(X) y \scriptstyle Q(X) y el polinomio producto \scriptstyle P(X)Q(X):
(*)\mbox{gr}(P(X)Q(X)) = \mbox{gr}(P(X)) + \mbox{gr}(Q(X))\,
Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que \scriptstyle \mbox{gr}(0) = -\infty (junto con la operación \forall p: -\infty + p = -\infty) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.

lunes, 12 de marzo de 2012

Signos de la matemática

Signos de la matemática:
   Figuras, señales y abreviaturas utilizados en matemáticas para denotar entidades,relaciones y operaciones.
Su historia:
   El origen y la evolución de los símbolos matemáticos no se conocen bien. Para más información sobre el probable origen de los números del 1 al 9 véase Numeracion. El origen del cero es desconocido, aunque hay confirmación de su existencia antes del año 400 d.C. La extensión del sistema de lugares decimales a los que representan valores inferiores a la unidad se atribuye al matemático holandés Simon Stevin (conocido también como Simon de Brujas), que llamó a las décimas, centésimas y milésimas primas, secundas y tercias.
   Para indicar los órdenes, utilizaba números en un círculo; por ejemplo, 4,628 se escribía 4 0 6 1 2 2 8 3. Antes de 1492 ya se empezó a utilizar un punto para separar la parte decimal de un número. Más tarde se usó también una raya vertical. En su Exempelbüchlein de 1530, el matemático alemán Christoff Rudolf resolvía un problema de interés compuesto haciendo uso de fracciones decimales. El astrónomo alemán Johannes Kepler empezó a utilizar la coma para separar los espacios decimales, y el matemático suizo Justus Byrgius utilizaba fracciones decimales de la forma 3,2. A pesar de que los antiguos egipcios tenían símbolos para la adición y la igualdad, y los griegos, hindúes y árabes tenían símbolos para la igualdad y las incógnitas, en esos primeros tiempos las operaciones matemáticas solían ser bastante engorrosas debido a la falta de signos apropiados.
   Las expresiones de dichas operaciones tenían que ser escritas por completo o expresadas mediante abreviaturas de las palabras. Más tarde, los griegos, los hindúes y el matemático alemán Jordanus Nemorarius empezaron a indicar la suma mediante yuxtaposición, mientras que los italianos la denotaban con las letras P o p atravesadas con una raya, pero estos símbolos no eran uniformes. Ciertos matemáticos utilizaban la p, otros la e, y el italiano Niccolò Tartaglia solía expresar esta operación como Æ.
   Los algebristas alemanes e ingleses introdujeron el signo +, al que denominaron signum additorum, aunque al principio sólo se utilizaba para indicar excedentes. El matemático griego Diofante utilizaba el signo ´ para indicar la sustracción. Los hindúes usaban un punto y los algebristas italianos la representaban con una M o m y con una raya atravesando la letra. Los algebristas alemanes e ingleses fueron los primeros en utilizar el signo actual, al que denominaron signum subtractorum. Los signos + y - fueron usados por primera vez en 1489 por el alemán Johann Widman.
   El matemático inglés William Oughtred fue el primero en usar el signo × en vez de la palabra "veces". El matemático alemán Gottfried Wihelm Leidniz utilizaba un punto para indicar la multiplicación y, en 1637, el francés Rene Descartes empezó a usar la yuxtaposición de los factores.
   En 1688 Leibniz utilizó el símbolo Ç para denotar la multiplicación y È para la división. Los hindúes colocaban el divisor debajo del dividendo. Leibniz usó la forma más conocida a: b. Descartes popularizó la notación an para la potenciación y el matemático inglés John Wallis definió los exponentes negativos y utilizó el símbolo (¥) para representar Infinito.
   El signo de igualdad, =, lo creó el matemático inglés Robert Recorde. Otro matemático inglés, Thomas Harriot, fue el primero en utilizar los símbolos > y <, "mayor que" y "menor que". El matemático francés rançois Viète introdujo varios signos de agrupación. Los símbolos de diferenciación, dx, y de integración, ò, empleados en el cálculo, son originales de Leibniz, lo mismo que el símbolo ~ de semejanza, utilizado en geometría. El matemático suizo Leonhard Euler es el principal responsable de los símbolos Æ, f, F, usados en la teoría de funciones.

La Matematica



Matemáticas es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones entre ellas. Algunos matemáticos se refieren a ella como la «Reina de las Ciencias».
Aunque la matemática sea la supuesta «reina de las ciencias», ella misma no se considera una ciencia natural. Principalmente, los matemáticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemática, debido a que tales estructuras pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una útil herramienta para cálculos frecuentes. Además, muchos matemáticos estudian sus áreas de preferencia simplemente por razones estéticas, viendo así la matemática como una forma de arte en vez de una ciencia práctica o aplicada. Sin embargo, las estructuras que los matemáticos investigan frecuentemente sí tienen su origen en las ciencias naturalesy muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la Física.
La matemática es un arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente, se puede decir que la matemática es el estudio de los «números y símbolos». Es decir, es la investigación de estructuras abstractas definidas axiomáticamente utilizando la lógica y la notación matemática. Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas. Otros puntos de vista pueden encontrarse en la Filosofía matemática.

No es infrecuente encontrar a quien describe la matemática como una simple extensión de los lenguajes naturales humanos, que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, sin embargo, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español y el francés) y los lenguajes formales (como la matemática y los lenguajes de programación) son estructuras que son de naturaleza básicamente diferente.
































Las fracciones

La Fracción:
   Es la expresión de una cantidad dividida entre otra; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción comúnfracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales.

Numerador y Denominador:
   Las fracciones se componen de: numeradordenominador y línea divisoria entre ambos (barra horizontal u oblícua). En una fracción común a/b el denominador b representa la cantidad de partes en que se ha fraccionado la unidad, y el numerador a es la cantidad de estas consideradas.
                                                       
                                                            

Representación gráfica y analítica:
   Suelen utilizarse círculos o rectángulos (los cuales representan la unidad) divididos en tantas partes como indique el denominador, y se colorean (u omiten) tantas de estas partes como indique el numerador.
  •  Notación y convenciones:
    • en una fracción común, el denominador se lee como número partitivo (ejemplos: 1/4 se lee «un cuarto», 3/5 se lee «tres quintos»);
    • una fracción negativa se escribe con el signo menos delante de la fracción (ejemplos: -1/4 o -\dfrac{3}{4} , pero no 3/-4);
    • una fracción genérica a/b representa el producto de a por el recíproco (multiplicativo) de b, de tal modo que a/b\ = a \cdot 1/b\ ; si tanto a como b son números negativos (-a/-b), el producto es positivo, por lo que se escribe: a/b;
    • toda expresión matemática escrita en esta forma recibe el nombre de «fracción».
   La expresión genérica  a/b representa una división algebraica, por lo que el divisor debe ser distinto de cero (b \neq 0); el cociente de esta división admite un desarrollo decimal (un número decimal, en el sistema de numeración decimal tradicional) que puede ser finito o infinito peródico (ver Número periódico).
Un número irracional no admite una escritura en forma de número fraccionario, su expansión decimal será infinita no-periódica.
Una fracción común representa un número racional, por lo que las fracciones comunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales.