LAS MATEMATICAS: Los polinomios

Los Polinomios:

*Polinomios de una variable

Para a₀, …, a_n constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero y $n \in \mathbb{N}$ , entonces un polinomio, $P_{}^{}$ , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

$P(x)_{}^{} =$ $a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}.$

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.$

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado.

*Polinomios de varias variable

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

$5xy, 3xz^2, 4xy^2z, \dots$

En detalle el último de ellos $4xy_{}^2z$ es un momonio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

Operaciones con Polinomios:

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Ejemplo

Sean los polinomios: $P(x) = (2x_{}^3+4x+1)$ y $Q(x)_{}^{} = (5x^2+3)$ , entonces el producto es:

$P(x)Q(x)_{}^{} =$ $(2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) =$ $(2x_{}^3+4x+1)(5x^2) + (2x^3+4x+1)(3)=$ $(10x_{}^5 + 20x^3 + 5x^2) + (6x^3+12x+3)=$ $10x_{}^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3$

Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

$P(X)Q(X)_{}^{} =$ $\left( \sum_{i=0}^m a_i X^i \right) \left(\sum_{j=0}^n b_j X^j \right) =$ $\sum_{k=0}^{m+n} \left(\sum_{p=0}^k a_p b_{k-p} \right) X^k$

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

$P(x)Q(x)_{}^{} =$ $(2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) =$ $(1\cdot 3)x_{}^0 + (4 \cdot 3)x^1 + (1 \cdot 5)x^2 + (4\cdot 5+ 2\cdot 3)x^3 + (0)x^4 + (5\cdot 2)x^5 =$ $10x_{}^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3$

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios $\scriptstyle P(X)$ y $\scriptstyle Q(X)$ y el polinomio producto $\scriptstyle P(X)Q(X)$ :

(*) $\mbox{gr}(P(X)Q(X)) = \mbox{gr}(P(X)) + \mbox{gr}(Q(X))\,$

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que $\scriptstyle \mbox{gr}(0) = -\infty$ (junto con la operación $\forall p: -\infty + p = -\infty$ ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.

LAS MATEMATICAS

martes, 13 de marzo de 2012

Los polinomios

Los Polinomios:

*Polinomios de una variable

*Polinomios de varias variable

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