Los polinomios

Los Polinomios:

*Polinomios de una variable

Para a₀, …, a_n constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como  o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

 

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado.

*Polinomios de varias variable

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

En detalle el último de ellos  es un momonio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

Operaciones con Polinomios:

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Ejemplo

Sean los polinomios:  y , entonces el producto es:

    

Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

  

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

   

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios  y  y el polinomio producto :

(*)

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que  (junto con la operación ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.